Los patrones cuasifractales en la música: la soberanía del gusto sobre la técnica
La dimensión fractal existente en la naturaleza también se puede encontrar en la música, mucho antes de que este concepto existiera, incidiendo en las preferencias estéticas.
Hoy en día nadie duda de la intrincada relación de las matemáticas con la música, más allá de la aritmética que puede haber en las distancias sonoras o los cálculos que han de hacerse para explicar la física del sonido y cualidades como el timbre. Notables nombres dentro de la física y las matemáticas han contribuido a la teoría de la música como Mersenne, Euclides, Ptolomeo, Kepler, Fourier, Bernoulli, Euler y un largo etcétera. Estas matemáticas ocultas que hay que descubrir o inventar, según sea nuestra visión filosófica de esta ciencia que estudia patrones, tienen una gran influencia en las preferencias estéticas y en la búsqueda de cierto orden que de sentido a las composiciones. Esto último es importante porque los preceptos matemáticos otorgan una especie de rigor o verdad científica a algo que estéticamente nos produce placer, como puede ser una obra musical. Esto no debe entenderse como una justificación teórica de la música, puesto que ciertos preceptos matemáticos proporcionan un marco para variar patrones o sugerir desarrollos de ideas musicales, es decir, son estrategias compositivas. Deliberadamente se someten motivos musicales a transformaciones matemáticas como reflexiones, elongaciones, acortamientos, etc. que tienen su terminología musical como transposición, inversión, retrogradación, etc. En resumidas cuentas, las matemáticas se usan como herramienta para la creación de música así como también para el análisis posterior de una obra musical, independientemente de si los compositores tuvieron presentes estos mismos preceptos cuando estaban creando. Lo llamativo aquí es que las obras musicales puedan revelar que se rigen bajo conceptos matemáticos que se inventaron (o descubireron) posteriormente a la creación de esa música. Y esto ocurre, por ejemplo, con el concepto de fractal.
Éste término acuñado por el matemático Benoît Mandelbrot que explicaba objetos geométricos demasiado irregulares para ser expresados con la geometría tradicional, arrojaba luz sobre los que se encontraban en la naturaleza y que atendían a ciertos patrones. Uno de estos patrones es la repeteción de su estructura básica a diferentes escalas. Las ramas de los árboles son un buen ejemplo, ya que si partimos un pequeño trozo con diminutas ramificaciones y lo colocamos en una maqueta o en un Belén, será un perfecto árbol en miniatura. La geometría fractal fue una idea revolucionaria y todas las ideas revolucionarias tienen en la música un espejo. Ocurre con la teoría de la relatividad, con la teoría del caos y con muchas otras a lo largo de la historia de la ciencia.
Volviendo al concepto de fractal, antes de que se acuñara el término, estas estructuras ya existían. La pregunta que puede plantearse es ¿existe una estructura fractal en la música o en cierta música de la misma manera que existe en la naturaleza? Para resolver esta pregunta es necesario averiguar si se pueden encontrar patrones fractales en música compuesta anteriormente a la aparición del término geométrico. Esto es lo que han hecho los investigadores John McDonough y Andrzej Herczyński (2023) en un gran trabajo que ha tenido en cuenta toda la literatura existente en relación con el análisis fractal de la música. Para llevar a cabo esta investigación, ellos entienden la autosimilitud en música como la recurrencia de motivos musicales particulares, o sus transformaciones simétricas, en diversas escalas de tiempo. Por lo tanto, la duración musical es análoga a la longitud en fractales visuales en dos dimensiones como son el conjunto de Cantor o la curva de Koch.
Estos dos fractales bidimensionales son lo que se conoce como fractales matemáticos, a diferencia de los naturales. El matiz entre lo natural y lo matemático estriba en el hecho de que el fractal matemático lo define un algoritmo simple y recursivo ad infinitum, mientras que los naturales son aproximados y la autosimilitud no es infinita, puesto que en el rango de escala atómica la estructura es diferente a la que vemos en escala macroscópica (pensemos en el ejemplo anterior de las ramificaciones del árbol). En la longitud de estos fractales matemáticos se puede ver la recursividad de una misma operación, como en el ideado por George Cantor, donde un segmento de recta se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central, repitiendo la misma operación con los segmentos restantes. Si la longitud es análoga a la duración en la música, se podrán encontrar diferentes fractales en motivos musicales que se repiten en distintas escalas de tiempo, es decir, volverá a aparecer en la obra musical la misma secuencia de notas con duraciones mayores o menores proporcionalmente, aunque a veces esto no sea evidente para la percepción del oyente.
Un ejemplo de comportamiento musical análogo al conjunto de Cantor podría ser así:
Para patrones que se comporten como la curva de Koch habría que escoger un motivo de tres notas, ya que partimos de un fractal que tiene como base el triángulo:
Además de la analogía entre duración y longitud, visualmente se puede observar una similitud entre los fractales y la representación gráfica de los ejemplos musicales . No obstante esto solo es un ejemplo para que se entienda, ya que en las obras musicales estos fractales se hallan de manera más compleja y menos evidente (dependiendo de cada obra).
Los autores del estudio analizan mucha música de diferentes épocas bajo esta perspectiva, aplicando además complejos cálculos matemáticos. Estos patrones no son exlcusivos del repertorio clásico, sino que también se dan en la música folclórica y tradicional, música donde prevalece la ausencia de partituras. Se analiza música de Johannes Ockeghem (1410-1497), Josquin des Prez (ca. 1450-1527), J. S. Bach (1685-1750), Johannes Brahms (1833-1897), Dimitri Shostakovich (1906-1975), G. F. Handel (1685-1759), Joseph Haydn (1732-1809), Gustav Holst (1874-1934), Domenico Scarlatti (1685-1757), Per Nørgård (1932- ) o Conlon Nancarrow (1912-1997). En todos estos compositores, y en otros que no aparecen analizados, existen patrones, autosimilitud de motivos a diferentes escalas temporales. Los más contemporáneos buscan premeditadamente las propiedades definitorias de los fractales (incluso algunos lo sugieren en los títulos), mientras que en las épocas barroca y clásica “se encuentran” en la música, puesto que el concepto de fractal, tal como lo conocemos hoy, es posterior.
La autosemejanza y, en ocasiones, un algoritmo recursivo se usan como herramientas compositivas o bien se hallan en la música. Sin embargo, la música no es matemáticamente fractal, sino que se asemeja más a lo que pasa en la naturaleza: son en muchas ocasiones fractales aproximados y su autosimilitud no es infinita. Esto se debe a que la arbitrariedad, el gusto (o su búsqueda) de la persona que compone tiene una soberanía que no logra arrebatarle el precepto matemático. Este gusto y su búsqueda es un territorio fronterizo entre la creación humana y la realizada por la inteligencia artificial, como ya expliqué en este artículo. La soberanía del gusto o preferencia personal sobre la operación matemática hace que los patrones sean cuasifractales o más parecidos a los fractales naturales. A pesar de que la música no sea algo que se encuentra en la naturaleza y sea mayormente un hecho cultural, este cualidad la acerca a una visión más “biológica”.
En ocasiones, es posible que los patrones que se repiten a diferentes escalas temporales no sean intencionales y los compositores hayan llegado a ellos de manera intuitiva, mientras que en otras ocasiones haya sido deliberado. Ya sea intencional o intuitivo, conocer esta realidad fractal intensifica lo gratificante de la escucha y enriquece la experiencia auditiva, lo cual no significa que no se pueda disfrutar de la música sin saber de la existencia de estos patrones. Afirman los autores del estudio que la omnipresencia de fractales en la naturaleza en forma de árboles, plantas, algunas conchas de animales, etc. podría explicar nuestra preferencia estética en las artes visuales y que, por lo tanto, los patrones cuasifractales en la música pueden resultar atractivos por las mismas razones. Personalmente no estoy tan seguro de esta afirmación, pues precisamente el acto subversivo de evitar las simetrías matemáticas es lo que otorga la soberanía del gusto, pero no ya desde el punto de vista de la creación musical sino desde las preferencias del oyente.
Referencias bibliográficas
McDonough, J., & Herczyński, A. (2023). Fractal patterns in music. Chaos, Solitons & Fractals, 170, 113315.